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向量的范数

范数可以算作 Euclid 长度的一种推行,范数在有关数值较量争论的算法剖析和估量中天然泛起。本部份引见其界说、内积导出的范数和相干的例子. 将进修到甚么 范数可以算作 Eucli…

范数可以算作 Euclid 长度的一种推行,范数在有关数值较量争论的算法剖析和估量中天然泛起。本部份引见其界说、内积导出的范数和相干的例子.

将进修到甚么

范数可以算作 Euclid 长度的一种推行,范数在有关数值较量争论的算法剖析和估量中天然泛起。本部份引见其界说、内积导出的范数和相干的例子.

界说

实的或复的向量空间上的范数的四条正义以下所示:

界说 1: 设 \(V\) 是域 \(\mathbf{F}\)(\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\))上的一个向量空间. 函数 \(\lVert \cdot \rVert : V \rightarrow \mathbb{R}\) 称为是一个范数,有时也称为向量范数,假如对一切 \(x,y \in V\) 和一切 \(c\in \mathbf{F}\)),

这个范数也称为曼哈顿范数,也称为出租车范数,由于它摹拟的是出租车在垂直的街道和小道构成的收集上穿越的间隔. 它是 \(\mathbb{C}^n\) 上的范数,却不是由内积导出的且不知足平行四边形恒等式.

\lvert \langle x,y \rangle \rvert ^2 \leqslant \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle , \quad \text{对一切}\,\, x,y \in V

\begin{align}

u范

范数的例子与内积的例子

(b) \(\langle x, y+z \rangle = \langle x, y \rangle +\langle x, z \rangle\)

u范

定理 6: 设 \(\langle \cdot , \cdot \rangle\) 是域 \(\mathbf{F}\)(\(\mathbf{F}=\mathbb{R}\) 或 \(\mathbb{C}\))上一个向量空间 \(V\) 上的半内积. 那末对一切 \(x,y \in V\) 有 $ \lvert \langle x,y \rangle \rvert ^2 \leqslant \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle $,且由 \(\lVert x \rVert = \langle x, x \rangle ^{1/2}\) 的函数 \(\lVert \cdot \rVert\):\(V \rightarrow [0,\infty)\) 是 \(V\) 上的一个半范数.

向量 \(x=[x_1 \cdots x_n]^T \in \mathbb{C}^n\) 的 Euclid 范数(\(l_2\) 范数)

\end{align}

设 \(a,b,c,d \in \mathbf{F}\) 和 \(x,y,w,z \in \mathbf{F}^n\). 从 3 中的五条正义推导出上面的性质:

u范

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