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刘维尔定理

相干文献 刘维尔(Liouville J,1809-1882)定理是复变函数论中的一个有名定理,在复变函数论中有着普遍的运用。本文起首给出了刘维尔定理的一种新的证实方式,其次给出了…

相干文献

刘维尔(Liouville J,1809-1882)定理是复变函数论中的一个有名定理,在复变函数论中有着普遍的运用。本文起首给出了刘维尔定理的一种新的证实方式,其次给出了刘维尔定理在三个方面的运用,最初给出了刘维尔定理在两个方面的推行。1刘维尔定理及证实刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数。注:整函数就是在全部复立体C上解析的函数。证法1[1]行使柯西不等式证实,见参考文献[1,p127]。证法2(行使柯西积分公式证实)设a,b为复立体C上随意率性两点,取充裕大的实数R,使a R,b R,因为f(z)为整函数,故f(z)在z R上解析,由柯西积分公式有:f(a)f(b)1(z)2 i z Rzfdz a dzf z Rz b(z)2 i1b(z)=2 i z R(z)(z b)a fdz a又因为f(z)在复立体C上有界,故存在M 0,z C有f(z)M,因而f(a)-f(b)0()()()RR a R bMa bR所以f(a)f(… (本文共3页) 浏览全文>>

1引言刘维尔定理[1-3]是复变函数论中的一个主要定理,它在诸多成绩上有着主要的运用.它的论述也很简明.刘维尔定理有界整函数f(z)必为常数.所谓整函数是指在Z立体上解析的函数.它的证实可见有关教材[1].以下为评论辩论轻易起见,把刘维尔定理称作定理1.刘维尔定理的前提之一是有界,但这个前提似嫌过强,还可以弱化,如许将使得刘维尔定理具有更普遍的运用.2刘维尔定理的推行定理2设f(z)是整函数,假如存在实数M,使得f(z)知足上面前提之一:(1)Ref(z)≤M,(2)Ref(z)≥M,(3)Imf(z)≤M,(4)Im(z)≥M,则f(z)必为常数.证实(1)令F(z)=ef(z)由于f(z)是整函数,易知F(z)也是整函数.由于|F(z)|=eRef(z)≤eM,故F(z)有界.从而由刘维尔定理,知F(z)是常数,那末易知f(z)也是常数.(2)令g(z)=-f(z),可知g(z)是整函数.又R… (本文共1页) 浏览全文>>

0引言经典的刘维尔定理是关于复立体上解析函数的一个美丽效果。因定理是在19世纪由法国数学家刘维尔提出而得名。定理异常简练:有界整函数必恒为常数。这必然理无疑使得代数根基定理的证实变得初等而快捷。刘维尔定理的效果也反应出复变函数的解析性与实函数的可微性之间存在的伟大差别:对全部实轴上界说的有界可微实函数,人们不能够希冀其恒为一常数,一个明显的例子是函数f(x)=sinx。因为解析函数与调和函数有着奥妙的联络,文中首要商量关于调和函数的刘维尔型定理,并将定理推行到高维的欧氏空间中。事实上,早在1975年Yau[1]就起首给出了刘维尔定理在流形上的推行,也就是人所共知的结论:非负Ricci曲率的完整非紧致黎曼流形上的正调和函数必为常数。厥后不久,Cheng-Yau[2]又进一步推行了下面的结论,得出了非负Ricci曲率的完整非紧致黎曼流形上的次线性增进的调和函数必为常数的结论。行使这一效果,Yau[3]得出了具非负Ricci曲率完整… (本文共3页) 浏览全文>>

保举文章:理论物理极础9:相空间流体和吉布斯-刘维尔定理_weixin_30954265的博客

莱尼喜好看河,特别喜好看漂浮物顺流而下。他料想漂浮物若何穿过礁石,若何堕入旋涡。然则河道全体,水量,流切变,河的分流和会聚,这是莱尼所看不到的。

相空间流体

在经典力学里,谛视一个特殊的初始条件,再随之在相空间走过特定轨迹,这是很天然的工作。然则还有一个更大的图象,凸起强调轨迹的总鸠合。这个更大的图象可以直观显示一切能够的出发点和一切能够的途径。不要再拿着铅笔点住相空间一点,然后沿着一条途径画线,而是做点更有大志的工作。想象一下,你有无限多支铅笔,用它们在相空间平均所在点(平均在这里的意思是在\(q,p\)空间点的密度处处相等)。把这些点看作设想的填充相空间的流体的构成粒子。

每一个点都依照哈密顿方程活动:

\begin{equation} \begin{split} & \dot{q}_i=\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ & \dot{p}_i=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{split} \label{eq1} \end{equation}

如许,流体连绵不断地流过相空间。

谐振子是申明相空间流体的好例子。在第8讲,我们看到每一个点做匀速圆周活动。(留意:我们谈的是相空间,不是坐标空间,在坐标空间,谐振子做的是一维往复运动。)全部流体做刚性活动,绕着相空间原点做匀速圆周活动。

如今我们回到普通情形。假如坐标数量是\(N\),则相空间就是\(2N\)维的。相空间流体以特定的体式格局活动。活动的特色之一是,每一点的能量值——\(H(q,p)\)的值——始终保持不变。能量相等的点构成一个立体,好比能量值为\(E\)的立体由以下方程描写:

刘维尔

\begin{equation}

H(q,p)=E

\label{eq2}

\end{equation}

对每一个\(E\),都有一个关于\(2N\)个相空间变量的方程,是以可以界说一个\(2N-1\)维的面。换言之,每一个\(E\)都对应一个面,一切的\(E\)对应的面可填充全部相空间。你可把相空间看作按方程\eqref{eq2}界说的等能线图,如图1。假如相空间流体的一点位于某等能面上,这点就会一向呆在这个等能面上。这就是能量守恒。

图1 谐振子等能面

对谐振子,相空间是二维的,能量面是圆,圆的方程为:

\begin{equation} \frac{\omega}{2}(q^2+p^2)=E \label{eq3} \end{equation}

对普通的力学系统,能量面非常复杂,没法画出来,然则道理是一样的:能量面一层一层填充相空间,相空间流体活动进程中连结各点一向呆在初始时辰地点的能量面内。

冗长回首

我们暂停一下,回首一下第1讲的内容。在第1讲,我们评论辩论过硬币、色子,还有运动定律最根基的思惟。我们描写这些定律用的方式,是用箭头连着透露表现零碎状况的点,透露表现零碎演变的进程和偏向。我们还注释过,有些定律是答应的,有些定律是制止的,可答应的定律是可逆的。可答应的定律有甚么特色?谜底是每一个点都有一个箭头指向本身,也有一个箭头从本身指向其余点。假如有一点,指向本身的箭头多于从本身指向内部的箭头,则响应的定律是不可逆的。一样地,从本身指向内部的箭头多于指向本身的箭头,响应的定律也是不可逆的。这两种情形都是制止的。如今我们剖析一下相空间流体活动的可逆性。

流和散度

我们斟酌平日空间里流体活动的几个复杂的例子。临时先忘掉相空间,只斟酌平日的三维空间(坐标轴离别为\(x,y,z\))的通俗流体。活动可用速度场描写。空间每一点的速度矢量都符号出来,一切这些速度矢量就构成速度场\(\vec{v}(x,yz)\),如图2所示。

图2. 速度场

刘维尔

我们还可以用速度的份量描写速度场:\(v_x(x,y,z),v_y(x,y,z),v_z(x,y,z)\)。一点的速度也能够是依靠时候的,然则我们只斟酌不依靠时候的情形,即只斟酌定常流。

刘维尔

我们还假定流体是弗成紧缩的,即一定量的流体总占有一样的体积,也即流体密度(单元体积内的份子数)是平均的而且是连结不变的。斟酌以下小立方体盒子:

\begin{equation*} \begin{split} & x_0\leq x\leq x_0+dx \\ & y_0\leq y\leq y_0+dy \\ & z_0\leq z\leq z_0+dz \end{split} \end{equation*}

不可压缩性意味着每一个这么大盒子里的流体粒子数都是必然的,而且单元时候净流入盒子的流体也是0(流入流出的流体正好相等)。单元时候从面\(x=x_0\)流入盒子的份子数量,反比于穿过此面的流速 \(v_x(x_0)\)。

假如\(v_x(x_0)=v_x(x_0+dx)\),则从\(x=x_0\)处流入盒子的流体等于从\(x=x_0+dx\)处流出盒子的流体。然则,假如\(v_x\)随地位转变,流入流出的流体就不相等,从这两个面净流入盒子的流体份子数反比于

刘维尔

\begin{equation*} -\frac{\partial v_x}{\partial x}dxdydz \end{equation*}

一样的事理也合用于\(y_0\)和\(y_0+dy\),也合用于\(z_0\)和\(z_0+dz\)。把这三项都加起来,即净流入盒子的份子数为

\begin{equation*} -\left (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\right )dxdydz \end{equation*}

括号外面的各导数有一个专门的名字:矢量场\(\vec{v}(t)\)的散度,记为:

\begin{equation}

刘维尔

abla \cdot \vec{v}=\left (\frac{\partial v_x}{\partial x}+\frac{\partial v_y}{\partial y}+\frac{\partial v_z}{\partial z}\right ) \label{eq4} \end{equation}

散度之名恰到好处,透露表现流体的份子外散而流,增大流体占有的体积。假如流体是弗成紧缩的,流体的体积不变,是以散度必需为0。

了解不可压缩性的一个方式是,以为流体的各份子,或是流体中的各点,都是弗成紧缩的,不克不及紧缩进更小的体积,也不可以平空消逝或泛起。施展点想象力,你可以看出不卡压缩性与可逆性异常雷同。在第1讲的各例子中,箭头也界说一种流。在某种意义上说,最少在可逆情形下,这类流也是弗成紧缩的。如今可以提出一个成绩,相空间中的活动是弗成紧缩的吗?谜底是,是的,假如零碎知足哈密顿方程的话。有一个定理表述了这类不可压缩性,这个定理就是刘维尔定理。

刘维尔定理

我们再回到相空间中的活动,斟酌相空间中每点流速的份量。相空间流体不是三维的,而是\(2N\)维的,坐标为\(q_i\)、\(p_i\)。是以速度场有\(2N\)个份量,\(N\)个\(q_i\),\(N\)个\(p_i\),份量记为\(v_{q_i}\)和\(v_{p_i}\)。

方程\eqref{eq4}所界说散度概念,很轻易推行至随意率性维空间,相空间流体的散度为以下\(2N\)项的和:

\begin{equation}

abla \cdot \vec{v}=\sum_i \left (\frac{\partial v_{q_i}}{\partial q_i}+\frac{\partial v_{p_i}}{\partial p_i}\right ) \label{eq5} \end{equation}

假如流体是弗成紧缩的,那末方程\eqref{eq5}比为0。要证实这一点,我们需求晓得速度场的份量,即设想的相空间流体的构成粒子的速度。

相空间中随意率性一点的速度的份量为:

\begin{equation*} \begin{split} & v_{q_i}=\dot{q}_i\\ & v_{p_i}=\dot{p}_i \end{split} \end{equation*}

并且,\(\dot{q}\_i\) 和 \(\dot{p}\_i\)恰是哈密顿方程中的量,凭据方程\eqref{eq1},有

\begin{equation} \begin{split} & v_{q_i}=\frac{\partial H}{\partial p_i}\\ & v_{p_i}=-\frac{\partial H}{\partial q_i} \end{split} \label{eq6} \end{equation}

把方程\eqref{eq6}带入方程\eqref{eq5},得

\begin{equation}

abla \cdot \vec{v}=\sum_i \left (\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial }{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\right ) \label{eq7} \end{equation}

二阶导数,如\(\frac{\partial }{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i}\),效果与求导递次有关,是以方程\eqref{eq7}中括号中的两项正好抵消,是以有:

\begin{equation*}

abla \cdot \vec{v}=0 \end{equation*}

是以,相空间中流体是弗成紧缩的,这在经典力学中被称为刘维尔定理,虽然与法国数学家约瑟夫·刘维尔几近没什么关系。这个定理是美利坚物理学家吉布斯于1903年起首揭橥的,是以也称为吉布斯-刘维尔定理。

我们后面提到,流体弗成紧缩意味着每一个小盒子的净流入量为0,这也是流体的不可压缩性的界说。这个界说还有个等价的表述。想象某个时辰必然体积的流体,这团流体可以为任何外形。追踪流体中每一点的活动,过一段时间后,这团流体就会呈现出其他外形,然则只需流体是弗成紧缩的,这团流体的体积就连结不变,在随意率性时辰的体积都与初始时辰的体积沟通。是以刘维尔定理可从新表述为:随意率性一团相空间流体的体积都不随时候转变。

好比谐振子,相空间流体绕着原点做圆周运动,很显着随意率性一团相空间流体的体积连结不变,乃至它们连外形也不变。然则外形不变是谐振子的非凡性质。如今我们看另一个例子。斟酌以下情势的哈密顿量:

\begin{equation*} H=pq \end{equation*}

你很能够没见过这个哈密顿量,然则这个哈密顿量完整可以存在的。我们先写出活动方程:

刘维尔

\begin{equation*} \begin{split} & \dot{q}=q\\ & \dot{p}=-p \end{split} \end{equation*}

解出这个微分方程组,可以看出\(q\)随时候指数增大,\(p\)以一样的速度随时候指数减小。换言之,流沿着\(p\)轴紧缩,而沿着\(q\)轴收缩,紧缩的量与收缩的量沟通。每一团流体沿着\(q\)轴被拉伸,沿着\(p\)轴被挤压。很显着,流体团外形极端歪曲,然则相空间体积不变。

刘维尔

刘维尔定理是与第1讲中的可逆性最接近的类比。在量子力学里,刘维尔定理被代之以幺正性。

泊松括号

刘维尔

19世纪法国数学家思虑力学的时刻发现了这些极为时兴的数学情势,他们在想些甚么呢?(哈密顿破例,他是爱尔兰人)他们是若何获得感化量道理、拉格朗日方程、哈密顿量、刘维尔定理?他们是在解物理题吗?他们只是为了玩出时兴的方程吗?照样只是为了设计新的物理道理?我以为这些身分都有一点,但在各个方面都获得了极大胜利。然则这些极大的胜利直到20世纪量子力学被发明以后才变得清楚。看起来似乎数代人之前的数学家机具洞察力,他们发现了百年之后量子概念的等价概念。

还没完。还有一个力学情势实际,即泊松括号,以法国数学家泊松的名字定名,这似乎也是个超出时期的实际。上面我们引见泊松括号。斟酌某个关于\(q_i\)和\(p_i\)的函数,如许的函数有动能、势能、角动量等等,固然还有其他各类我们能够感兴趣的物理量。我们先不指明详细函数,记为\(F(q,p)\)。

我们如今仔细考查\(F(q,p)\)。起首,它是相空间中的地位的函数。然则假如我们追踪相空间中任何一点——系统的任何真实的轨迹——都对应一个函数值\(F\),即\(F\)的值随沿着轨迹而变。换言之,系统沿着某轨迹的活动使\(F\)称为时候的函数。我们如今较量争论\(F\)若何跟着给定一点的活动而变,即较量争论\(F\)的时候导数:

刘维尔

\begin{equation*} \dot{F}=\sum_i \left ( \frac{\partial F}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial F}{\partial p_i}\dot{p}_i \right ) \end{equation*}

代入哈密顿方程,得:

\begin{equation} \dot{F}=\sum_i \left ( \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial H}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial H}{\partial q_i} \right ) \label{eq8} \end{equation}

刘维尔

我也不晓得泊松若何发现了他的括号,我嫌疑是方程\eqref{eq8}的右侧他写烦了,决意用新的符号简化一下。拿出两个相空间的函数,\(G(q,p)\)和\(F(q,p)\)。先不论它们的物理意义,也不论是否是个中一个是否是哈密顿量。\(F\)和\(G\)的泊松括号界说为:

\begin{equation} \{F,G\}=\sum_i \left ( \frac{\partial F}{\partial q_i}\frac{\partial G}{\partial p_i}-\frac{\partial F}{\partial p_i}\frac{\partial G}{\partial q_i} \right ) \label{eq9} \end{equation}

泊松再写方程\eqref{eq8}就简练了,可写为:

\begin{equation} \dot{F}=\{F,H\} \label{eq10} \end{equation}

方程\eqref{eq10}奇异之处在于它的涵意极其丰富。任何物理量的时候导数都可以写为该物理量与哈密顿量的泊松括号。乃至连哈密顿方程自己也包孕在内。要看出这一点,令\(F\)为任何一个\(q\),由方程\eqref{eq10},有:

\begin{equation*} \dot{q}_k=\{q_k,H\} \end{equation*}

把上式中的泊松括号写开,其实只要一项,即\(q_k\)对本身的求导那一项。因为\(\frac{dq_k}{dq_k}=1\),因而泊松括号\(\{q_k,H\}\)正好等于\(\frac{\partial H}{\partial p_k}\),这恰是哈密顿方程组中的第一个方程。同理,哈密顿方程组的第二个方程等价于

\begin{equation*} \dot{p}_k=\{p_k,H\} \end{equation*}

留意到在这个情势实际中,哈密顿方程组的泊松括号情势的这两个方程是同号的,\(q\)和\(p\)离别对应的方程的符号差别潜藏在泊松括号的界说里。

法国人对优雅的陶醉报答丰富。泊松括号成为量子力学里最根基的量:对易子。

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第9讲:相空间流体和吉布斯-刘维尔定理

Blog 物理实际最低根蒂根基

莱尼喜好看河,特别喜好看漂浮物顺流而下。他料想漂浮物若何穿过礁石,若何堕入旋涡。然则河道全体,水量,流切变,河的分流和会聚,这是莱尼所看不到的。

相空间流体

在经典力学里,谛视一个特殊的初始条件,再随之在相空间走过特定轨迹,这是很天然的工作。然则还有一个更大的图象,凸起强调轨迹的总鸠合。这个更大的图象可以直观显示一切能够的出发点和一切能够的途径。不要再拿着铅笔点住相空间一点,然后沿着一条途径画线,而是做点更有大志的工作。想象一下,你有无限多支铅笔,用它们在相空间平均所在点(平均在这里的意思是在 q,p 空间点的密度处处相等)。把这些点看作设想的填充相空间的流体的构成粒子。

每一个点都依照哈密顿方程活动:

q ˙ i = ∂ H ∂ p i p ˙ i = − ∂ H ∂ q i (1)

如许,流体连绵不断地流过相空间。

谐振子是申明相空间流体的好例子。在第8讲,我们看到每一个点做匀速圆周活动。(留意:我们谈的是相空间,不是坐标空间,在坐标空间,谐振子做的是一维往复运动。)全部流体做刚性活动,绕着相空间原点做匀速圆周活动。

如今我们回到普通情形。假如坐标数量是 N ,则相空间就是 2N 维的。相空间流体以特定的体式格局活动。活动的特色之一是,每一点的能量值—— H(q,p) 的值——始终保持不变。能量相等的点构成一个立体,好比能量值为 E 的立体由以下方程描写:

H ( q , p ) = E (2)

对每一个 E ,都有一个关于 2N 个相空间变量的方程,是以可以界说一个 2N−1 维的面。换言之,每一个 E 都对应一个面,一切的 E 对应的面可填充全部相空间。你可把相空间看作按方程 (2) 界说的等能线图,如图1。假如相空间流体的一点位于某等能面上,这点就会一向呆在这个等能面上。这就是能量守恒。

图1 谐振子等能面

对谐振子,相空间是二维的,能量面是圆,圆的方程为:

ω 2 ( q 2 + p 2 ) = E (3)

对普通的力学系统,能量面非常复杂,没法画出来,然则道理是一样的:能量面一层一层填充相空间,相空间流体活动进程中连结各点一向呆在初始时辰地点的能量面内。

冗长回首

我们暂停一下,回首一下第1讲的内容。在第1讲,我们评论辩论过硬币、色子,还有运动定律最根基的思惟。我们描写这些定律用的方式,是用箭头连着透露表现零碎状况的点,透露表现零碎演变的进程和偏向。我们还注释过,有些定律是答应的,有些定律是制止的,可答应的定律是可逆的。可答应的定律有甚么特色?谜底是每一个点都有一个箭头指向本身,也有一个箭头从本身指向其余点。假如有一点,指向本身的箭头多于从本身指向内部的箭头,则响应的定律是不可逆的。一样地,从本身指向内部的箭头多于指向本身的箭头,响应的定律也是不可逆的。这两种情形都是制止的。如今我们剖析一下相空间流体活动的可逆性。

流和散度

我们斟酌平日空间里流体活动的几个复杂的例子。临时先忘掉相空间,只斟酌平日的三维空间(坐标轴离别为 x,y,z )的通俗流体。活动可用速度场描写。空间每一点的速度矢量都符号出来,一切这些速度矢量就构成速度场 v⃗(x,yz) ,如图2所示。

图2. 速度场

我们还可以用速度的份量描写速度场: vx(x,y,z),vy(x,y,z),vz(x,y,z) 。一点的速度也能够是依靠时候的,然则我们只斟酌不依靠时候的情形,即只斟酌定常流。

我们还假定流体是弗成紧缩的,即一定量的流体总占有一样的体积,也即流体密度(单元体积内的份子数)是平均的而且是连结不变的。斟酌以下小立方体盒子:

x 0 < x < x 0 + d x y 0 < y < y 0 + d y z 0 < z < z 0 + d z

不可压缩性意味着每一个这么大盒子里的流体粒子数都是必然的,而且单元时候净流入盒子的流体也是0(流入流出的流体正好相等)。单元时候从面 x=x0 流入盒子的份子数量,反比于穿过此面的流速 vx(x0) 。

假如 vx(x0)=vx(x0+dx) ,则从 x=x0 处流入盒子的流体等于从 x=x0+dx 处流出盒子的流体。然则,假如 vx 随地位转变,流入流出的流体就不相等,从这两个面净流入盒子的流体份子数反比于

− ∂ v x ∂ x d x d y d z

一样的事理也合用于 y0 和 y0+dy ,也合用于 z0 和 z0+dz 。把这三项都加起来,即净流入盒子的份子数为

− ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) d x d y d z

括号外面的各导数有一个专门的名字:矢量场 v⃗(t) 的散度,记为:

∇ ⋅ v ⃗ = ( ∂ v x ∂ x + ∂ v y ∂ y + ∂ v z ∂ z ) (4)

散度之名恰到好处,透露表现流体的份子外散而流,增大流体占有的体积。假如流体是弗成紧缩的,流体的体积不变,是以散度必需为0。

了解不可压缩性的一个方式是,以为流体的各份子,或是流体中的各点,都是弗成紧缩的,不克不及紧缩进更小的体积,也不可以平空消逝或泛起。施展点想象力,你可以看出不卡压缩性与可逆性异常雷同。在第1讲的各例子中,箭头也界说一种流。在某种意义上说,最少在可逆情形下,这类流也是弗成紧缩的。如今可以提出一个成绩,相空间中的活动是弗成紧缩的吗?谜底是,是的,假如零碎知足哈密顿方程的话。有一个定理表述了这类不可压缩性,这个定理就是刘维尔定理。

刘维尔定理

我们再回到相空间中的活动,斟酌相空间中每点流速的份量。相空间流体不是三维的,而是 2N 维的,坐标为 qi 、 pi 。是以速度场有 2N 个份量, N 个 qi , N 个 pi ,份量记为 vqi 和 vpi 。

方程 (4) 所界说散度概念,很轻易推行至随意率性维空间,相空间流体的散度为以下 2N 项的和:

∇ ⋅ v ⃗ = ∑ i ( ∂ v q i ∂ q i + ∂ v p i ∂ p i ) (5)

假如流体是弗成紧缩的,那末方程 (5) 比为0。要证实这一点,我们需求晓得速度场的份量,即设想的相空间流体的构成粒子的速度。

相空间中随意率性一点的速度的份量为:

v q i = q ˙ i v p i = p ˙ i

并且, q˙i 和 p˙i 恰是哈密顿方程中的量,凭据方程 (1) ,有

v q i = ∂ H ∂ p i v p i = − ∂ H ∂ q i (6)

把方程 (6) 带入方程 (5) ,得

∇ ⋅ v ⃗ = ∑ i ( ∂ ∂ q i ∂ H ∂ p i − ∂ ∂ p i ∂ H ∂ q i ) (7)

二阶导数,如 ∂∂pi∂H∂qi ,效果与求导递次有关,是以方程 (7) 中括号中的两项正好抵消,是以有:

∇ ⋅ v ⃗ = 0

是以,相空间中流体是弗成紧缩的,这在经典力学中被称为刘维尔定理,虽然与法国数学家 约瑟夫·刘维尔 几近没什么关系。这个定理是美利坚物理学家 吉布斯 于1903年起首揭橥的,是以也称为吉布斯-刘维尔定理。

我们后面提到,流体弗成紧缩意味着每一个小盒子的净流入量为0,这也是流体的不可压缩性的界说。这个界说还有个等价的表述。想象某个时辰必然体积的流体,这团流体可以为任何外形。追踪流体中每一点的活动,过一段时间后,这团流体就会呈现出其他外形,然则只需流体是弗成紧缩的,这团流体的体积就连结不变,在随意率性时辰的体积都与初始时辰的体积沟通。是以刘维尔定理可从新表述为:随意率性一团相空间流体的体积都不随时候转变。

好比谐振子,相空间流体绕着原点做圆周运动,很显着随意率性一团相空间流体的体积连结不变,乃至它们连外形也不变。然则外形不变是谐振子的非凡性质。如今我们看另一个例子。斟酌以下情势的哈密顿量:

H = p q

你很能够没见过这个哈密顿量,然则这个哈密顿量完整可以存在的。我们先写出活动方程:

q ˙ = q p ˙ = − p

q

p

p

q

q

p

解出这个微分方程组,可以看出随时候指数增大,以一样的速度随时候指数减小。换言之,流沿着轴紧缩,而沿着轴收缩,紧缩的量与收缩的量沟通。每一团流体沿着轴被拉伸,沿着轴被挤压。很显着,流体团外形极端歪曲,然则相空间体积不变。

刘维尔定理是与第1讲中的可逆性最接近的类比。在量子力学里,刘维尔定理被代之以幺正性。

泊松括号

19世纪法国数学家思虑力学的时刻发现了这些极为时兴的数学情势,他们在想些甚么呢?(哈密顿破例,他是爱尔兰人)他们是若何获得感化量道理、拉格朗日方程、哈密顿量、刘维尔定理?他们是在解物理题吗?他们只是为了玩出时兴的方程吗?照样只是为了设计新的物理道理?我以为这些身分都有一点,但在各个方面都获得了极大胜利。然则这些极大的胜利直到20世纪量子力学被发明以后才变得清楚。看起来似乎数代人之前的数学家机具洞察力,他们发现了百年之后量子概念的等价概念。

还没完。还有一个力学情势实际,即泊松括号,以法国数学家泊松的名字定名,这似乎也是个超出时期的实际。上面我们引见泊松括号。斟酌某个关于 qi 和 pi 的函数,如许的函数有动能、势能、角动量等等,固然还有其他各类我们能够感兴趣的物理量。我们先不指明详细函数,记为 F(q,p) 。

我们如今仔细考查 F(q,p) 。起首,它是相空间中的地位的函数。然则假如我们追踪相空间中任何一点——系统的任何真实的轨迹——都对应一个函数值 F ,即 F 的值随沿着轨迹而变。换言之,系统沿着某轨迹的活动使 F 称为时候的函数。我们如今较量争论 F 若何跟着给定一点的活动而变,即较量争论 F 的时候导数:

F ˙ = ∑ i ( ∂ F ∂ q i q ˙ i + ∂ F ∂ p i p ˙ i )

代入哈密顿方程,得:

F ˙ = ∑ i ( ∂ F ∂ q i ∂ H ∂ p i − ∂ F ∂ p i ∂ H ∂ q i ) (8)

我也不晓得泊松若何发现了他的括号,我嫌疑是方程 (8) 的右侧他写烦了,决意用新的符号简化一下。拿出两个相空间的函数, G(q,p) 和 F(q,p) 。先不论它们的物理意义,也不论是否是个中一个是否是哈密顿量。 F 和 G 的泊松括号界说为:

{ F , G } = ∑ i ( ∂ F ∂ q i ∂ G ∂ p i − ∂ F ∂ p i ∂ G ∂ q i ) (9)

泊松再写方程 (8) 就简练了,可写为:

F ˙ = { F , H } (10)

方程 (10) 奇异之处在于它的涵意极其丰富。任何物理量的时候导数都可以写为该物理量与哈密顿量的泊松括号。乃至连哈密顿方程自己也包孕在内。要看出这一点,令 F 为任何一个 q ,由方程 (10) ,有:

q ˙ k = { q k , H }

q k

d q k d q k = 1

{ q k , H }

∂ H ∂ p k

p ˙ k = { p k , H }

把上式中的泊松括号写开,其实只要一项,即对本身的求导那一项。因为,因而泊松括号正好等于,这恰是哈密顿方程组中的第一个方程。同理,哈密顿方程组的第二个方程等价于

留意到在这个情势实际中,哈密顿方程组的泊松括号情势的这两个方程是同号的, q 和 p 离别对应的方程的符号差别潜藏在泊松括号的界说里。

法国人对优雅的陶醉报答丰富。泊松括号成为量子力学里最根基的量:对易子。

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作者: admin

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